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docs/02algorithms/05order/index.mdx

@@ -69,6 +69,96 @@ $n = 2$ 程度なら計算量の差はほとんどありませんが、$n$ の
 | $10^9$       | 1      | 30          | -        | -            | -        | -        | -        | -       |
 | $10^{10}$    | 1      | 34          | -        | -            | -        | -        | -        | -       |
 
+## 計算量の求め方
+
+実際に、いくつかの計算量を求めてみましょう。
+
+<ViewSource path="/order/example1.ipynb" />
+
+このプログラムは for 文で $n$ 回繰り返されるので、計算量は $O(n)$ です。
+
+<ViewSource path="/order/example2.ipynb" />
+
+このプログラムは for 文で $n^2$ 回繰り返されるので、計算量は $O(n^2)$ です。
+
+<ViewSource path="/order/example3.ipynb" />
+
+このプログラムは一見すると $n$ 回の繰り返しに見えますが、`g` 関数の方にも繰り返しがあり、$n^2$ 回の繰り返しになるので、計算量は $O(n^2)$ です。
+
+<ViewSource path="/order/example4.ipynb" />
+
+このプログラムは for 文で $n^2+n=O(n)$ 回繰り返されるので、計算量は $O(n^2)$ です。
+
+<ViewSource path="/recursion/recurrence_relation_rec.ipynb" />
+
+再帰関数は少し難しいですがプログラムの流れを追っていくと次のようになっているので、$n$ 回処理が実行され、計算量は $O(n)$ です。
+
+```mermaid
+flowchart LR
+    n["a(n)"] --> n-1["a(n-1)"]
+    n-1["a(n-1)"] -...-> 3["a(3)"]
+    3["a(3)"] --> 2["a(2)"]
+    2["a(2)"] --> 1["a(1)"]
+```
+
+<ViewSource path="/recursion/fib.ipynb" />
+
+これは、難しいです。図を書くとわかりやすいです。計算量は、この図のノードの数になります。それぞれのノードから、二本の矢印が出ていて、最大 $n$ 回で `fib(0)` まで到達するので、計算量は $O(2^n)$ よりも小さくなります。
+
+```mermaid
+flowchart
+    A["fib(n)"] --> B["fib(n-1)"]
+    A --> C["fib(n-2)"]
+    B --> D["fib(n-2)"]
+    B --> E["fib(n-3)"]
+    C --> F["fib(n-3)"]
+    C --> G["fib(n-4)"]
+    D --> H["fib(n-3)"]
+    D --> I["fib(n-4)"]
+    E --> J["fib(n-4)"]
+    E --> K["fib(n-5)"]
+    F --> L["fib(n-4)"]
+    F --> M["fib(n-5)"]
+    H --> N["fib(n-4)"]
+    H --> O["fib(n-5)"]
+```
+
+数学的に、求めてみます。
+
+計算量を $T(n)$ とします。
+
+$$
+\begin{align*}
+    T(n) &= T(n-1) + T(n-2) \\
+         &<2T(n-1) \quad (\because T(n-2)<T(n-1)) \\
+         &<2^2T(n-2) \\
+         &<\cdots \\
+         &<2^nT(0) \\
+         &=2^n \\
+\end{align*}
+$$
+
+これで、計算量が $O(2^n)$ よりも小さいことが証明できました。
+
+:::info
+
+計算量は $O(2^n)$ よりも小さくなると言いましたが、実際に厳密に計算すると $O\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$ になります。($\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1.618$)
+
+ランダウの記号は、$n$ が十分大きい時、ある関数以下に抑えられるという意味なので、$O(2^n)$ と言っても間違いではないとは思います。
+
+これは、漸化式を解けば求まります。
+
+$$
+\begin{align*}
+    T(n) &= T(n-1) + T(n-2) \\
+    &\cdots \\
+    \therefore T(n) &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \\
+                    &= O\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)
+\end{align*}
+$$
+
+:::
+
 ## 練習問題 1
 
 次のプログラムの計算量を求めてください。
@@ -93,7 +183,7 @@ for 文の中が `n` 回繰り返されるので、$O(n)$ となります。
 
 </Answer>
 
-## 練習問題 2
+## 練習問題 3
 
 次のプログラムの計算量を求めてください。
 

static/order/example1.ipynb

@@ -6,22 +6,22 @@
   {
    "metadata": {},
    "source": [
-    "def calc_sum(n):\n",
-    "    s = 0\n",
-    "    for i in range(1, n + 1):\n",
-    "        s += i\n",
-    "    return s\n",
+    "def f(n):\n",
+    "    cnt = 0\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        cnt += 1\n",
+    "    return cnt\n",
     "\n",
     "\n",
-    "print(calc_sum(10))"
+    "print(f(100))"
    ],
    "cell_type": "code",
    "outputs": [
     {
      "output_type": "stream",
      "name": "stdout",
      "text": [
-      "55\n"
+      "100\n"
      ]
     }
    ],

static/order/example2.ipynb

@@ -6,23 +6,23 @@
   {
    "metadata": {},
    "source": [
-    "def calc_sum_square(n):\n",
-    "    s = 0\n",
-    "    for i in range(1, n + 1):\n",
-    "        for j in range(1, n + 1):\n",
-    "            s += i * j\n",
-    "    return s\n",
+    "def f(n):\n",
+    "    cnt = 0\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        for _ in range(n):\n",
+    "            cnt += 1\n",
+    "    return cnt\n",
     "\n",
     "\n",
-    "print(calc_sum_square(10))"
+    "print(f(100))"
    ],
    "cell_type": "code",
    "outputs": [
     {
      "output_type": "stream",
      "name": "stdout",
      "text": [
-      "3025\n"
+      "10000\n"
      ]
     }
    ],

static/order/example3.ipynb

@@ -0,0 +1,37 @@
+{
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2,
+ "metadata": {},
+ "cells": [
+  {
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "def g(cnt, n):\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        cnt += 1\n",
+    "    return cnt\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "def f(n):\n",
+    "    cnt = 0\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        cnt = g(cnt, n)\n",
+    "    return cnt\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "print(f(100))"
+   ],
+   "cell_type": "code",
+   "outputs": [
+    {
+     "output_type": "stream",
+     "name": "stdout",
+     "text": [
+      "10000\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "execution_count": null
+  }
+ ]
+}

static/order/example4.ipynb

@@ -0,0 +1,34 @@
+{
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2,
+ "metadata": {},
+ "cells": [
+  {
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "def f(n):\n",
+    "    cnt = 0\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        for _ in range(n):\n",
+    "            cnt += 1\n",
+    "    for _ in range(n):\n",
+    "        cnt += 1\n",
+    "    return cnt\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "print(f(100))"
+   ],
+   "cell_type": "code",
+   "outputs": [
+    {
+     "output_type": "stream",
+     "name": "stdout",
+     "text": [
+      "10100\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "execution_count": null
+  }
+ ]
+}